橢圓通焦點

❶ 橢圓的焦點弦

過橢圓焦點的直線與橢圓相交，這兩個交點的線段叫橢圓焦點弦，解此類問題通常用內焦半徑公式處理容，這樣可以減少變數，即如果弦MN過橢圓的焦點F ，設M(x ，y )，N(x ，y )，則| MN | = a＋ x ＋a＋ x = 2a＋ ( x ＋x )．
例1 已知橢圓長軸 |A A | = 6，焦距|F F | = 4 ，過橢圓的左焦點F 作直線交橢圓於M、N兩點，設∠F F M = (0≤ ≤ )，問 取何值時，| MN |等於橢圓的短軸的長．
解：如圖，建立直角坐標系，則a = 3，b = 1，c = 2 ，即橢圓方程為 ＋y = 1，
設過F 的直線方程為y = k(x＋2 )，則有

❷ 怎麼求橢圓的焦點坐標

定義
橢圓是一種圓錐曲線（也有人叫圓錐截線的），現在高中教材上有兩種定義：
1、平面上到兩點距離之和為定值的點的集合（該定值大於兩點間距離）（這兩個定點也稱為橢圓的焦點，焦點之間的距離叫做焦距）；
2、平面上到定點距離與到定直線間距離之比為常數的點的集合（定點不在定直線上，該常數為小於1的正數）（該定點為橢圓的焦點，該直線稱為橢圓的准線）。這兩個定義是等價的

標准方程
高中課本在平面直角坐標系中，用方程描述了橢圓，橢圓的標准方程為：x^2/a^2+y^2/b^2=1
其中a>0，b>0。a、b中較大者為橢圓長半軸長，較短者為短半軸長（橢圓有兩條對稱軸，對稱軸被橢圓所截，有兩條線段，它們分別叫橢圓的長半軸和短半軸）當a>b時，焦點在x軸上，焦距為2*(a^2-b^2)^0.5，准線方程是x=a^2/c和x=-a^2/c
橢圓的面積是πab。橢圓可以看作圓在某方向上的拉伸，它的參數方程是：x=acosθ ， y=bsinθ

公式
橢圓的面積公式
S=π(圓周率)×a×b(其中a,b分別是橢圓的長半軸,短半軸的長).
或S=π(圓周率)×A×B/4(其中A,B分別是橢圓的長軸,短軸的長).
橢圓的周長公式
橢圓周長沒有公式，有積分式或無限項展開式。
橢圓周長(L)的精確計算要用到積分或無窮級數的求和。如
L = 4a * sqrt(1-e^sin^t)的(0 - pi/2)積分, 其中a為橢圓長軸,e為離心率
橢圓的離心率公式
e=c/a
橢圓的准線方程
x=+-a^2/C
橢圓焦半徑公式
橢圓過右焦點的半徑r=a-ex
過左焦點的半徑r=a+ex

相關性質
由於平面截圓錐（或圓柱）得到的圖形有可能是橢圓，所以它屬於一種圓錐截線。
例如：有一個圓柱，被截得到一個截面，下面證明它是一個橢圓（用上面的第一定義）：
將兩個半徑與圓柱半徑相等的半球從圓柱兩端向中間擠壓，它們碰到截面的時候停止，那麼會得到兩個公共點，顯然他們是截面與球的切點。
設兩點為F1、F2
對於截面上任意一點P，過P做圓柱的母線Q1、Q2，與球、圓柱相切的大圓分別交於Q1、Q2
則PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2
由定義1知：截面是一個橢圓，且以F1、F2為焦點
用同樣的方法，也可以證明圓錐的斜截面（不通過底面）為一個橢圓

橢圓有一些光學性質：橢圓的面鏡（以橢圓的長軸為軸，把橢圓轉動180度形成的立體圖形，其外表面全部做成反射面，中空）可以將某個焦點發出的光線全部反射到另一個焦點處；橢圓的透鏡（某些截面為橢圓）有匯聚光線的作用（也叫凸透鏡），老花眼鏡、放大鏡和遠視眼鏡都是這種鏡片（這些光學性質可以通過反證法證明）

歷史
關於圓錐截線的某些歷史：圓錐截線的發現和研究起始於古希臘。 Euclid, Archimedes, Apollonius, Pappus 等幾何學大師都熱衷於圓錐截線的研究，而且都有專著論述其幾何性質，其中以 Apollonius 所著的八冊《圓錐截線論》集其大成，可以說是古希臘幾何學一個登峰造極的精擘之作。當時對於這種既簡朴又完美的曲線的研究，乃是純粹從幾何學的觀點，研討和圓密切相關的這種曲線；它們的幾何乃是圓的幾何的自然推廣，在當年這是一種純理念的探索，並不寄望也無從預期它們會真的在大自然的基本結構中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世紀之交，Kepler 行星運行三定律的發現才知道行星繞太陽運行的軌道，乃是一種以太陽為其一焦點的橢圓。Kepler 三定律乃是近代科學開天劈地的重大突破，它不但開創了天文學的新紀元，而且也是牛頓萬有引力定律的根源所在。由此可見，圓錐截線不單單是幾何學家所愛好的精簡事物，它們也是大自然的基本規律中所自然選用的精要之一。
http://www.21maths.com/public/lunwen/jfyj/200312/584.html

❸ 橢圓的焦點公式怎樣的

^^^橢圓方程:x^2/a^2+y^2/b^2=1;(a>b>0)
所以c^2=a^2-b^2;故焦點是,(c,0),(-c,0);
如果不是一般的，也要回化成標准形:
(x-d)^2/a^2+(y-f)^2/b^2=1;(a>b>0);
同樣c^2=a^2-b^2;
所以在原點時(c,0),(-c,0);
但是該答 方程是由原點標准時，沿(d,f)平移的，
所以焦點是 (c+d,f),(-c+d,f);
y軸上類似

❹ 橢圓的焦點弦公式怎麼推倒

設焦點弦端點為A，B，A，B橫坐標分別為x1，x2，A，B到與焦點對應的准線的距離分別為d1，d2，焦點弦過焦點F，

則離心率e=AF/d1=BF/d2=(AF+BF)/(d1+d2)=AB/(d1+d2)=AB/[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]

焦點弦長AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]

若F為右焦點，則d1+d2=|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|=(a^2)/c-x1+(a^2)/c-x2=2(a^2)/c-(x1+x2)

焦點弦長AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]=e[2(a^2)/c-(x1+x2)]=2(c/a)(a^2)/c-e(x1+x2)

=2a-e(x1+x2)

若F為左焦點，則d1+d2=|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|=x1-(a^2)/c+x2-(a^2)/c=(x1+x2)-2(a^2)/c

焦點弦長AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]=e[(x1+x2)-2(a^2)/c]=e(x1+x2)-2(c/a)(a^2)/c

=e(x1+x2)-2a

(4)橢圓通焦點擴展閱讀：

平面內到定點F1、F2的距離之和等於常數（大於|F1F2|）的動點P的軌跡，F1、F2稱為橢圓的兩個焦點。其數學表達式為：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。

由錐體與平面相交的平面曲線。橢圓與其他兩種形式的圓錐截面有很多相似之處：拋物線和雙曲線，兩者都是開放的和無界的。圓柱體的橫截面為橢圓形，除非該截面平行於圓柱體的軸線。

如果中心在原點，但焦點的位置不明確在X軸或Y軸時，方程可設為mx²+ny²=1（m>0，n>0，m≠n）。即標准方程的統一形式。

橢圓的面積是πab。橢圓可以看作圓在某方向上的拉伸，它的參數方程是：x=acosθ ， y=bsinθ

標准形式的橢圓在（x0，y0）點的切線就是 ：xx0/a²+yy0/b²=1。橢圓切線的斜率是：-b²x0/a²y0，這個可以通過復雜的代數計算得到。

❺ 橢圓的焦點是什麼

在數學中，橢圓是平面上到兩個固定點的距離之和是常數的軌跡。這兩個固定點叫做焦點。
經由這個定義，這樣畫出一個橢圓：先准備一條線，將這條線的兩端各綁在一點上（這兩個點就當作是橢圓的兩個焦點）；取一支筆，將線綳緊，這時候兩個點和筆就形成了一個三角形；然後拉著線開始作圖，持續的使線綳緊，最後就可以完成一個橢圓的圖形了
情況一：焦點在x軸上的
橢圓基本公式 x2/a+ y2/b=1 (a>b>0)
（註：是x的平方和y的平方)
焦點坐標 F1(-C,0) F2(C,0)
對稱軸 以坐標軸為對稱軸，以原點為對稱中心
定點坐標 A1(-a,0) A2(a,0)
B1(0,b) B2(0,-b)
長軸 2a
短軸 2b
范圍 -a≤x≤a -b≤y≤b
離心率 e=c/a (0<e<1) e越大，橢圓越扁
准線方程 y=±a2/c （註：是a的平方)

情況二：焦點在y軸上的
橢圓基本公式 y2/a+ x2/b=1 (a>b>0)
（註：是x的平方和y的平方)
焦點坐標 F1(0, -C) F2(0, C)
對稱軸 以坐標軸為對稱軸，以原點為對稱中心
定點坐標 A1(0, -a) A2(0, a)
B2(b,0) B1(-b,0)
長軸 2a
短軸 2b
范圍 -a≤y≤a -b≤x≤b
離心率 e=c/a (0<e<1) e越大，橢圓越扁
准線方程 x=±a2/c （註：是a的平方)

❻ 為什麼橢圓通徑過焦點的弦最短

過焦點F的弦AB長 = FA+FB = 離心率·(A到准線的距離+B到准線的距離)
= 2·離心率·AB中點到准線的距離.
設AB中點為M, 若FA ≥ FB, 則F在線段BM上.
M到准線的距離 ≥ B到准線的距離, 可知M到准線的距離 ≥ F到准線的距離.
而AB為通徑時, M到准線的距離 = F到准線的距離.
此時M到准線的距離取到最小值, 於是AB長度也取得最小值.

❼ 橢圓的焦點是什麼

在數學中，橢圓是平面上到兩個固定點的距離之和是常數的軌跡。這兩個固定點叫做焦點。
經由這個定義，這樣畫出一個橢圓：先准備一條線，將這條線的兩端各綁在一點上（這兩個點就當作是橢圓的兩個焦點）；取一支筆，將線綳緊，這時候兩個點和筆就形成了一個三角形；然後拉著線開始作圖，持續的使線綳緊，最後就可以完成一個橢圓的圖形了
情況一：焦點在x軸上的
橢圓基本公式
x2/a+
y2/b=1
(a>b>0)
（註：是x的平方和y的平方)
焦點坐標
f1(-c,0)
f2(c,0)
對稱軸
以坐標軸為對稱軸，以原點為對稱中心
定點坐標
a1(-a,0)
a2(a,0)
b1(0,b)
b2(0,-b)
長軸
2a
短軸
2b
范圍
-a≤x≤a
-b≤y≤b
離心率
e=c/a
(0<e<1)
e越大，橢圓越扁
准線方程
y=±a2/c
（註：是a的平方)
情況二：焦點在y軸上的
橢圓基本公式
y2/a+
x2/b=1
(a>b>0)
（註：是x的平方和y的平方)
焦點坐標
f1(0,
-c)
f2(0,
c)
對稱軸
以坐標軸為對稱軸，以原點為對稱中心
定點坐標
a1(0,
-a)
a2(0,
a)
b2(b,0)
b1(-b,0)
長軸
2a
短軸
2b
范圍
-a≤y≤a
-b≤x≤b
離心率
e=c/a
(0<e<1)
e越大，橢圓越扁
准線方程
x=±a2/c
（註：是a的平方)

❽ 怎樣理解一條直線恰好通過橢圓的焦點

橢圓的焦點有兩個，左焦點，右焦點，或者上焦點，下焦點
即一條直線經過了一個焦點（左焦點，右焦點，或者上焦點，下焦點）